对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f′（x）=0有实数解x0，则称点（x0f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x3-6x2+5-数学试题及答案

1、试题题目：对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f′（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x³-6x²+5x+4，请回答下列问题．（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论；
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（1，3）（不要过程）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，得：f′（x）=3x²-12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2
所以拐点坐标是（2，-2）
（2）设（x₁，y₁）与（x，y）关于（2，-2）中心对称，并且（x₁，y₁）在f（x），所以就有

x1=4-x

y1=-4-y

，
由y₁=x₁³-6x₁²+5x₁+4，得-4-y=（4-x）³-6（4-x）²+5（x-4）+4
化简的：y=x³-6x²+5x+4
所以（x，y）也在f（x）上，故f（x）关于点（2，-2）对称．
三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-

b

3a

，f（-

b

3a

）），它就是函数f（x）的对称中心
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）．
（3），G（x）=a（x-1）³+b（x-1）²+3（a≠0），或写出一个具体函数，如G（x）=x³-3x²+3x+2，或G（x）=x³-3x²+5x

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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