已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)=tx-12x3（t为常数）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值时的x，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)=t..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)=tx-

1

2

x3（t为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当t≥9时，证明：函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）x∈（0，2]时，-x∈[-2，0），则f(-x)=t(-x)-

1

2

(-x)3=-tx+

1

2

x3，
∵函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，即f（-x）=-f（x），
∴-f(x)=-tx+

1

2

x3，即f(x)=tx-

1

2

x3，又可知f（0）=0，
∴函数f（x）的解析式为f(x)=tx-

1

2

x3，x∈[-2，2]；
（2）f(x)=x(t-

1

2

x2)，∵t∈[2，6]，x∈[-2，0]，∴t-

1

2

x2≥0，f（x）＜0
∵[f(x)]2=x2(t-

1

2

x2)2≤(

x2+t-

1

2

x2+t-

1

2

x2

3

)3=

8t3

27

，∴x2=t-

1

2

x2，
即x2=

2t

3

，x=-

6t

3

(-

6t

3

∈[-2，0])时，fmin=-

2

6

9

t

．
猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间为[0，

6t

3

]．
（3）t≥9时，任取-2≤x₁＜x₂≤2，
∵f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[t-

1

2

(x12+x1x2+x22)]＜0，
∴f（x）在[-2，2]上单调递增，即f（x）∈[f（-2），f（2）]，
即f（x）∈[4-2t，2t-4]，t≥9，∴4-2t≤-14，2t-4≥14，
∴14∈[4-2t，2t-4]，∴当t≥9时，函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)=t..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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