（理）已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（I）求b．（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．（III）讨论函数h（x）=l-数学试题及答案

1、试题题目：（理）已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

（理）已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（III）讨论函数h（x）=ln（1+x²）-

1

2

f（x）-k的零点个数？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f（-x）=f（x）
∴（-x）²+bsin（-x）-2=x²+bsinx-2
∴b=0．
（II）∵g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx
∴g′(x)=2x+2+

a

x

(x＞0)
依题意，2x+2+

a

x

≥0或2x+2+

a

x

≤0在（0，1）上恒成立
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由a≥-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由a≤-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，可知a≤-4，
所以a≥0或a≤-4
（III）h(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1-k，
令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1．
所以y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

令y'=0，则x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x

（-∞，-1）

-1

（-1，0）

0

（0，1）

1

（1，+∞）

y′

+

0

-

0

+

0

-

h（x）

单调递增

极大值
ln2+

1

2

单调递减

极小值1

单调递增

极大值
ln2+

1

2

单调递减

所以当k＞ln2+

1

2

时，函数无零点；
当k＜1或k=ln2+

1

2

时，函数有两个零点；
当k=1时，函数有三个零点．
当1＜k＜ln2+

1

2

时，函数有四个零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：