对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足-数学试题及答案

1、试题题目：对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）证明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）求f（3^k-1）（k∈N^*）的值；
（Ⅲ）是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．

试题来源：顺义区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵对k∈N*，f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=f（3k）①，
由已知f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=3f（k）②，
由①、②得f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）若f（1）=1，由已知f（f（k））=3k得f（1）=3，矛盾；
设f（1）=a＞1，∴f（f（1））=f（a）=3，③
由f（k）严格递增，即1＜a?f（1）＜f（a）=3．，∴

f(1)≠1

f(1)＜3

f(1)∈N*

，∴f（1）=2，
由③有f（f（1））=f（a）=3，
故f（f（1））=f（2）=3，
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=3f（1）=6，f（6）=f（3?2）=3f（2）=9，f（9）=3f（3）=18，f（18）=3f（6）=27，f（27）=3f（9）=54，f（54）=3f（18）=81，…
依此类推归纳猜出：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当k=1时，显然成立；
（2）假设当k=l（l≥1）时成立，即f（3^l-1）=2×3^l-1，
那么当k=l+1时，f（3^l）=f（3×3^l-1）=3f（3^l-1）=3×2×3^l-1=2?3^l．猜想成立，
由（1）、（2）所证可知，对k∈N^*f（3^k-1）=2×3^k-1成立．
（Ⅲ）存在p=3^k-1+1，当p个连续自然数从3^k-1→2×3^k-1时，
函数值正好也是p个连续自然数从f（3^k-1）=2×3^k-1→f（2×3^k-1）=3^k．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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