已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当t≥..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：金台区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意得，f(x)=x2+2x-4lnx?f′(x)=2x+2-

4

x

．由函数的定义域为x＞0，
∴f'（x）＞0?x＞1，f'（x）＜0?0＜x＜1．∴函数f（x）有极小值f（1）=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f(2t-1)≥2f(t)-3?2t2-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=aln

t2

2t-1

．
当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0．即t＞1时，a≤

2(t-1)2

ln

t2

2t-1

恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴ln

t2

2t-1

=ln[1+

(t-1)2

2t-1

]≤

(t-1)2

2t-1

＜(t-1)2在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln

t2

2t-1

≤(t-1)2，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当t≥..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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