已知数列{an}的首项a1=1，且点An（an，an+1）在函数y=xx+1的图象上．（1）证明：{1an}为等差数列，并求{an}的通项公式．（2）若{bn}表示直线AnAn+1的斜率，且bn＞m2-2m+13对n∈N*恒成立-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项a1=1，且点An（an，an+1）在函数y=xx+1的图象上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=

x

x+1

的图象上．
（1）证明：{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）若{b_n}表示直线A_nA_n+1的斜率，且b_n＞m²-2m+

1

3

对n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=

x

x+1

的图象上，∴an+1=

an

an+1

，
两边取倒数得

1

an+1

=

1

an

+1，得到

1

an+1

-

1

an

=1，
∴数列{

1

an

}是首项为

1

a1

=1，公差为1的等差数列，
∴

1

an

=1+(n-1)×1=n，∴an=

1

n

．
（2）∵b_n=

an+2-an+1

an+1-an

=

1

n+2

-

1

n+1

1

n+1

-

1

n

=

n

n+2

，∴bn+1=

n+1

n+3

，
∴b_n+1-b_n=

n+1

n+3

-

n

n+2

=

2

(n+2)(n+3)

＞0，即数列{b_n}是递增数列，其最小值为b1=

1

3

．
∵b_n＞m²-2m+

1

3

对n∈N^*恒成立，∴[bn]min＞m2-2m+

1

3

，
即

1

3

＞m2-2m+

1

3

，化为m²-3m＜0，解得0＜m＜3．
∴实数m的取值范围是（0，3）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1=1，且点An（an，an+1）在函数y=xx+1的图象上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：