定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x．（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；（Ⅲ）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x22）；*（Ⅳ）试用f（x1），f（x2），g（-数学试题及答案

1、试题题目：定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x．（Ⅰ）求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10^x．
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；
（Ⅲ）证明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（

x1+x2

2

）；
*（Ⅳ）试用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10^x ①，
∴f（-x）+g（-x）=10^-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10^-x ②，
由①，②解得：f（x）=

1

2

（10^x-

1

10x

），g（x）=

1

2

（10^x+

1

10x

）．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=

1

2

（10^x-

1

10x

），
∴（10^x）²-2y?10^x-1=0，解得10^x=y±

y2+1

，
∵10^x＞0，
∴10^x=y+

y2+1

，
∴x=lg（y+

y2+1

），
∴f（x）的反函数为f^-1（x）=lg（x+

x2+1

）．x∈R．
（Ⅲ）证明：由（I）可得：2g（

x1+x2

2

）=10

x1+x2

2

+

1

10

x1+x2

2

；
并且得到g（x₁）+g（x₂）=

1

2

（10x1+

1

10x1

）+

1

2

（10x2+

1

10x2

）=

1

2

（10x1+10x2）+

1

2

（

1

10x1

+

1

10x2

）
≥

1

2

?2

10x1?10x2

+

1

2

?2

1

10x1?10x2

=10

x1+x2

2

+

1

10

x1+x2

2

=2g（

x1+x2

2

）；
∴g（x₁）+g（x₂）≥2g（

x1+x2

2

）．
（Ⅳ）由（I）可得：f（x₁-x₂）=f（x₁）g（x₂）-g（x₁）f（x₂），g（x₁+x₂）=g（x₁）g（x₂）-f（x₁）f（x₂）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x．（Ⅰ）求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：