已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=33处取得极值-239．记函数图象为曲线C．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）设曲线C与其在点P1（1，f（1））处的切线交于另一点P2（-数学试题及答案

1、试题题目：已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=33处取得..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=

3

处取得极值-

2

3

9

．记函数图象为曲线C．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设曲线C与其在点P₁（1，f（1））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），线段P₁P₂与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，求S₁的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₂，…，按此方法依次做下去，即设曲线C与其在点P_n（x_n，f（x_n））处的切线交于另一点P_n+1（x_n+1，f（x_n+1）），线段P_nP_n+1与曲线C所围成封闭图形的面积记为S_n，试求S_n关于n的表达式．

试题来源：宣城模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵三次函数为R上奇函数，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即d=0且-a+b-c=-a-b-c
∴b=d=0
即f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，又f（x）=ax³+cx在x=

3

处取得极值-

2

3

9

，
∴

f(

3

)=-

2

3

9

f′(

3

)=0

即

a(

3

) 3+c(

3

)=-

2

3

9

3a(

3

) 2+c=0

得a=1，c=-1，∴f（x）=x³-x
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-1，f（1）=0，f′（1）=2，
∴曲线C在点P₁处的切线方程为y=2（x-1）
由

y=2(x-1)

y=x3-x

解得x₁=1，x₂=-2，
∴S₁=|

∫

1-2

x3-x-2(x-1)dx|=|（

1

4

x4 -

3

2

x2+2x）

|

1-2

|=

27

4

（Ⅲ）f（x）在P_n（x_n，f（x_n））的切线：
y-（xn3-x_n）=（3xn2-1）（x-x_n）即y=（3xn2-1）x-2xn3
由

y=(3xn2-1)x-2xn3

y=x3-x

解得x=x_n或x=-2x_n，
∴P_n+1（-2x_n，f（-2x_n）），x_n+1=-2x_n，
S_n=|

∫

-2xnxn

x³-x-[（3xn2-1）x-2xn3]dx|=|（

1

4

x4 -

3

2

xn2x2+2xn3x）

|

-2xnxn

|=

27

4

xn4
同理得S_n+1=

27

4

xn+14，又x_n+1=-2x_n≠0，∴

Sn+1

Sn

=(

xn+1

xn

)4=16，又S₁=

27

4

∴S_n=

27

4

?16^n-1=

27

64

?16ⁿ n∈N^*．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=33处取得..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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