已知函数f（x）=xe-x+（x-2）ex-a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥x2-2x+1ex恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xe-x+（x-2）ex-a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2，f（x）的定义域为R，
f′（x）=e^-x-xe^-x+e^x-2+（x-2）e^x-2=（x-1）（e^x-2-e^-x）=e^-x（x-1）（e^x-1-1）（e^x-1+1）．
当x≥1时，x-1≥0，e^x-1-1≥0，所以f′（x）≥0，
当x＜1时，x-1＜0，e^x-1-1＜0，所以f′（x）≥0，
所以对任意实数x，f′（x）≥0，
所以f（x）在R上是增函数；
（II）当x≥1时，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，即（x-2）e^2x-a-x²+3x-1≥0恒成立，
设h（x）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1（x≥1），则h′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1），
令h′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1）=0，解得x1=

3

2

，x2=

a

2

，
（1）当1＜

a

2

＜

3

2

，即2＜a＜3时，

x

（1，

a

2

）

a

2

（

a

2

，

3

2

）

3

2

（

3

2

，+∞）

h′（x）

+

0

-

0

+

h（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以要使结论成立，则h（1）=-e^2-a+1≥0，h（

3

2

）=-

1

2

e^3-a+

5

4

≥0，即e^2-a≤1，e^3-a≤

5

2

，
解得a≥2，a≥3-ln

5

2

，所以3-ln

5

2

≤a＜3；
（2）当

a

2

=

3

2

，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=-e^-1+1＞0，
故结论成立；
（3）当

a

2

＞

3

2

，即a＞3时，

x

（1，

3

2

）

3

2

（

3

2

，

a

2

）

a

2

（

a

2

，+∞）

h′（x）

+

0

-

0

+

h（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以要使结论成立，
则h（1）=-e^2-a+1≥0，h（

a

2

）=-

a2

4

+2a-3≥0，即e^2-a≤1，a²-8a+12≤0，
解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；
综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，实数a的取值范围是3-ln

5

2

≤a≤6． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xe-x+（x-2）ex-a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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