已知奇函数f（x）=2x+a?2-x，x∈（-1，1）（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性并进行证明；（3）若函数f（x）满足f（1-m）+f（1-2m）＜0，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知奇函数f（x）=2x+a?2-x，x∈（-1，1）（1）求实数a的值；（2）判断f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知奇函数f（x）=2^x+a?2^-x，x∈（-1，1）
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性并进行证明；
（3）若函数f（x）满足f（1-m）+f（1-2m）＜0，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，1+a=0，∴a=-1．
（2）证明：由（1）可知，f（x）=2x-

1

2x

．
任取-1＜x₁＜x₂＜1，则

f(x1)-f(x2)=(2x1-

1

2x1

)-(2x2-

1

2x2

)=(2x1-2x2)-(

1

2x1

-

1

2x2

)

=(2x1-2x2)+(

2x1-2x2

2x1+x2

)=(2x1-2x2)(1+

1

2x1+x2

)

∵-1＜x1＜x2＜1，2x1+x2＞0

∴f(x1)-f(x2)＜0，得f(x1)＜f(x2)

所以，f（x）在（-1，1）上单调递增．
（3）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
由已知f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（1-m）+f（1-2m）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），
又由（2）知f（x）在（-1，1）上单调递增，
∴-1＜1-m＜2m-1＜1，解得

2

3

＜m＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知奇函数f（x）=2x+a?2-x，x∈（-1，1）（1）求实数a的值；（2）判断f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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