已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数；（3）在条件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x2+1）-f（2x+5）＜4．-数学试题及答案

1、试题题目：已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）判断f（x）的奇偶性；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数；
（3）在条件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x²+1）-f（2x+5）＜4．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=y=0，得f（0）=0；又令y=-x得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x），因此f（x）是R上的奇函数；…（4分）
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），因此f（x）在R上为增函数；…（9分）
（3）∵f（1）=2，∴f（2）=2f（1）=4…（11分）
由f（x²+1）-f（2x+5）＜4，可得f（x²+1）＜f（2x+5）+f（2）
∴f（x²+1）＜f（2x+7）
由（2）可得x²+1＜2x+7，即x²-2x-6＜0
解得1-

7

＜x＜1+

7

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）判断f（x）的奇偶性；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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