（1）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；（2）若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：（1）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；（2）若不等式ax+x2+x32+2(x+2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

（1）证明：当x∈[0，1]时，

2

x≤sinx≤x；
（2）若不等式ax+x2+

x3

2

+2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：辽宁试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：记F（x）=sinx-

2

x，则F′（x）=cosx-

2

．
当x∈（0，

π

4

）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，

π

4

]上是增函数；
当x∈（

π

4

，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[

π

4

，1]上是减函数；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥

2

x…3
记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1＜0，所以H（x）在[0，1]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
综上，

2

x≤sinx≤x…5
（2）∵当x∈[0，1]时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）sin2

x

2

≤（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）(

2

4

x)2
=（a+2）x，
∴当a≤-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，…9
下面证明，当a＞-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
∵当x∈[0，1]时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）sin2

x

2

≥（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）(

x

2

)2
=（a+2）x-x²-

x3

2

≥（a+2）x-

3

2

x²
=-

3

2

x[x-

2

3

（a+2）]．
所以存在x₀∈（0，1）（例如x₀取

a+2

3

和

1

2

中的较小值）满足
ax₀+x02+

x03

2

+2（x₀+2）cosx₀-4＞0，
即当a＞-2时，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；（2）若不等式ax+x2+x32+2(x+2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：