已知f（x）=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上是增函数，在(0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）。（Ⅰ）求c的值，并求出b和d的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）≥2；（Ⅲ）求β-α的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上是增函数，在(0，2]上是减函数，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x³+bx²+cx+d在(-∞，0]上是增函数，在(0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）。
（Ⅰ）求c的值，并求出b和d的取值范围；
（Ⅱ）求证：f（x）≥2；
（Ⅲ）求β-α的取值范围，并写出当β-α取最小值时的f（x）的解析式。

试题来源：北京期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）因为f（x）在(-∞，0]上是增函数，在(0，2]上是减函数，
所以x=0是f′（x）=0的根，
又

，
由f′（0）=0，得c=0，
又f（x）=0的根是α，2，β，
所以f（2）=0，所以8+4b+d=0，
又f′（2）≤0，
所以12+4b≤0，所以b≤-3，
又d=-8-4b，
所以d≥4；
（Ⅱ）因为

，
所以d=-8-4b，且b≤-3，
所以

；
（Ⅲ）因为f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β），
所以

，
所以

，
又b≤-3，
所以

，
当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4，
所以

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上是增函数，在(0，2]上是减函数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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