已知函数f（x）=ax-lnx，x∈(0，e]，其中e为自然常数，（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-lnx，x∈(0，e]，其中e为自然常数，（Ⅰ）当a=1时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-lnx，x∈(0，e]，其中e为自然常数，
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

试题来源：北京期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）a=1，f（x）=x-lnx，x∈(0，e]，

，
令f′（x）=0，即：

，解得x=1；
令f′（x）＞0，即：

，解得1＜x≤e；
令f′（x）＜0，即：

，解得0＜x＜1；
∴f（x）的单调增区间为(1，e]，单调减区间为（0，1），
f（x）在x=1处取得极小值为f（1）=1；
（Ⅱ）

，
（1）若

，
∵x∈(0，e]，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在(0，e]上是减函数，
此时

（舍）；
（2）若a＞0，令f′（x）=0，即：

；
令f′（x）＞0，即：

；
令f′（x）＜0，即：

；
①若

，此时f（x）在(0，e]上是减函数，

（舍）；
②若

，此时f（x）在(0，e]上左减右增，

；
综上可知：存在

，使得f（x）的最小值是3。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-lnx，x∈(0，e]，其中e为自然常数，（Ⅰ）当a=1时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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