设f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．（1）若a=2，解关于x的不等式f(x)-1＞logax-1x-2（2）判断F（x）的单调性，并证明．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（t-x），a＞0且a≠1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

设f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（1）若a=2，解关于x的不等式f(x)-1＞loga

x-1

x-2

（2）判断F（x）的单调性，并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a=2，∴关于x的不等式f(x)-1＞loga

x-1

x-2

，
即 log2

1+x

2

＞log2

x-1

x-2

，
∴

x+1

2

＞

x-1

x-2

＞0，
∴

x+1

2

-

x-1

x-2

＞0

x-1

x-2

＞0

，

x2-3x

2(x-2)

＞0

x＞2或x＜1

，

x＞3或0＜x＜2

x＞2或x＜1

，
解得 x＞3，或 0＜x＜1，故不等式的解集为{x|x＞3，或 0＜x＜1 }．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（t-x）=loga

1+x

t-x

是奇函数，
故有 F（0）=0=loga

1

t

，∴t=1，∴F（x）=loga

1+x

1-x

．
由

1+x

1-x

＞0 解得-1＜x＜1，故F（x）的定义域为（-1，1）．
由于h（x）=

1+x

1-x

在（-1，1）上单调递增，故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵h（x₁）-h（x₂）=

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

(1+x1)(1-x2)-(1+x2)(1-x1)

(1-x1)(1-x2)

=

2x1-2x2

(1-x1)(1-x2)

，
由-1＜x₁＜x₂＜1，可得2x₁-2x₂＜0，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
∴

2x1-2x2

(1-x1)(1-x2)

＜0，h（x₁）＜h（x₂），故h（x）=

1+x

1-x

在定义域（-1，1）上单调递增，
故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（t-x），a＞0且a≠1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：