附加题已知f（x）定义域为R，满足：①f（1）=1＞f（-1）；②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．（1）求f（0），f（3）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．（3）求12f(1-2x-数学试题及答案

1、试题题目：附加题已知f（x）定义域为R，满足：①f（1）=1＞f（-1）；②对任意实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

附加题
已知f（x）定义域为R，满足：①f（1）=1＞f（-1）；②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
（1）求f（0），f（3）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．（3）求

1

2

f(1-2x)+f2(x)的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
∴令y=x-1，得f（0）=f（x）f（x-1）+f（x-1）f（x-2）．
再令x=1，代入上式得：f（0）=f（1）f（0）+f（0）f（-1）．
∴f（0）[1-f（1）-f（-1）]=0．
∵f（1）=1＞0＞f（-1）
∴1-f（1）-f（-1）≠0
∴f（0）=0，
由上面的证明，得f（x）f（x-1）+f（x-1）f（x-2）=0．
即f（x-1）[f（x）+f（x-2）]=0，而f（x-1）不恒等于0
故f（x）+f（x-2）=0恒成立
对上式令x=3，得f（3）+f（1）=0?f（3）=-f（1）=-1
（2）对f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）令y=0，得
f（-x+1）=f（x）f（0）+f（x-1）f（-1）
由（1）得，f（-1）=-f（-1+2）=-1，f（0）=0
∴f（-x+1）=-f（x-1），即f（-x）=-f（x），
∴函数为奇函数
（3）f（1-2x）=f（-x-x+1）=-f²（x）+f（x-1）f（-x-1）
∴

1

2

f(1-2x)=-

1

2

f 2(x)-

1

2

f(x-1)f(x+1)
∴

1

2

f(1-2x)+f2(x)=-

1

2

f 2(x)-

1

2

f(x-1)f(x+1)+f2(x)
=

1

2

[f2(x)-f(x+1)f(x-1)]
∵f²（x）=1-f²（x-1）?f²（x）-f（x+1）f（x-1）=1-f（x-1）[f（x-1）+f（x+1）]
而f（x-1）+f（x+1）=0，所以f²（x）-f（x+1）f（x-1）=1
∴

1

2

f(1-2x)+f2(x)=

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“附加题已知f（x）定义域为R，满足：①f（1）=1＞f（-1）；②对任意实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：