设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1．（Ⅰ）求f(1)，f(19)的值；（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；①对任意..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f(1)，f(

1

9

)的值；
（Ⅱ）证明f（x）在R⁺是减函数；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(

1

9

)=f(1)=0，得f(

1

9

)=2.
（Ⅱ）取定义域中的任意的x₁，x₂且0＜x1＜x2?

x2

x1

＞1 ?f(

x2

x1

)＜0
∴f(x2)=f(

x2

x1

?x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)，其中0＜x＜2，
由可（Ⅱ）得：

x(2-x)＞

1

9

0＜x＜2

解得x的范围是(1-

2

3

，1+

2

3

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；①对任意..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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