已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．（1）求k的值（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+b没有交点，求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．（1）求k的值（2）若函数y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．
（1）求k的值
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+b没有交点，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为y=f（x）为偶函数，
所以?x∈R，f（-x）=f（-x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于?x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9

9x+1

9x

-log9(9x+1)=-x恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒为零，
∴k=-

1

2

．
（2）由题意知方程log9(9x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b，即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g(x)=log9

9x+1

9x

=log9(1+

1

9x

)
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜9x1＜9x2，从而

1

9x1

＞

1

9x2

．
于是log9(1+

1

9x1

)＞log9(1+

1

9x2

)，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为1+

1

9x

＞1，所以g(x)=log9(1+

1

9x

)＞0．
所以b的取值范围是（-∞，0]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．（1）求k的值（2）若函数y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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