已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；（2）当m=0时，求证f（x）≥x2+x3．-数学试题及答案

1、试题题目：已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex（1）若函数没有零点，求实数m的取值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x
（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m=0时，求证f（x）≥x²+x³．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x 没有零点，
∴方程 x²+mx+m=0 无解，∴△=m²-4m＜0，解得 0＜m＜4，
故实数m的取值范围为（0，4）．
（2）当m=0时，f（x）=x²?e^x，不等式等价于 x²?e^x≥x²+x³，
等价于 x²?e^x-x²-x³≥0，等价于 x²（e^x-x-1）≥0．
令g（x）=e^x-x-1，当x＜0时，g′（x）=e^x-1＜0，故g（x）=e^x-x-1 在（-∞，0）上是减函数．
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞0，故g（x）=e^x-x-1 在（0，+∞）上是增函数．
故g（x）=e^x-x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，故g（x）≥0恒成立，
∴x²（e^x-x-1）≥0成立，故要证的不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex（1）若函数没有零点，求实数m的取值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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