设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求证：y=f（x）是奇函数；（2）求证：函数y=f（x）在R上为减函数．（3）试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？若-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证：y=f（x）是奇函数；
（2）求证：函数y=f（x）在R上为减函数．
（3）试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？若有求出最值；若没有，说出理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）?f（0）=0．
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数． …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．?f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R上为减函数． …（10分）
（3）由（2）y=f（x）在R上为减函数，
∴y=f（x）在[-3，3]上为减函数，f（3）为函数的最小值，f（-3）为函数的最大值．
又f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
∴函数最大值为6，最小值为-6…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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