已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1）+f（t）＜0．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t²-1）+f（t）＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（0）=0，得b=0．
又∵f(

1

2

)=

2

5

，∴

1

2

a

1+

1

4

=

2

5

，解之得a=1；
因此函数f（x）的解析式为：f(x)=

x

1+x2

．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则 f(x1)-f(x2)=

x1

1+

x

21

-

x2

1+

x

22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+

x

21

)(1+

x

22

)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-1）+f（t）＜0即为f（t²-1）＜-f（t）=f（-t），
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴f（t²-1）＜f（-t）即为t²-1＜-t，解之得：-

1+

5

2

＜t＜

-1+

5

2

…①
又∵

-1＜t2-1＜1

-1＜t＜1

，解之得-1＜t＜1且t≠0…②
对照①②，可得t的范围是：(-1，0)∪(0，

-1+

5

2

)．
所以，原不等式的解集为(-1，0)∪(0，

-1+

5

2

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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