我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0，T≠0）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数y=f（x）满足T=1且图象关于直线x=1对称．求证：函数f（x）是偶函数-数学试题及答案

1、试题题目：我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0，T≠0）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数y=f（x）满足T=1且图象关于直线x=1对称．求证：函数f（x）是偶函数；
（2）当T=1，a=2时，某个似周期函数在0≤x＜1时的解析式为f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈Z的解析式；
（3）对于确定的T＞0且0＜x≤T时，f（x）=3^x，试研究似周期函数函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵x∈R关于原点对称，
又函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1-x）=f（1+x）①
又T=1，∴f（x+1）=af（x），②，
用-x代替x得f（-x+1）=af（-x），③
由①②③可知af（x）=af（-x），∵a≠1且a≠0，∴f（x）=f（-x）．即函数f（x）是偶函数；
（2）当n≤x＜n+1（n∈Z）时，0≤x-n＜1（n∈Z）f（x）=2f（x-1）=2²f（x-2）=…=2ⁿf（x-n）=2ⁿ（x-n）（n+1-x）；
（3）当nT＜x≤（n+1）T（n∈N）时，0＜x-nT≤T（n∈N）f（x）=af（x-T）=a²f（x-2T）=…=aⁿf（x-nT）=aⁿ3^x-nT
显然a＜0时，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数，
又a＞0时，f（x）=aⁿ3^x-nT，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N是增函数，
此时f（x）∈（aⁿ，aⁿ3^T]，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N，
若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有aⁿ⁺¹≥aⁿ3^T，
解得a≥3^T．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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