发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-20 07:30:00
| 试题原文 |
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| 证明：（1）条件的必要性是显然的， 因为已知a＞0，b＞0，c＞0， 所以立即可得a+b+c＞0， ab+bc+ca＞0，abc＞0． 下面证明条件的充分性： 设a，b，c是三次方程x3+px2+qx+r=0的三个根， 则由根与系数的关系及已知条件有-p=a+b+c＞0， q=ab+bc+ca＞0，-r=abc＞0， 此即p＜0，q＞0，r＜0． 由此即可知三次方程x3+px2+qx+r=0的系数正负相间， 所以此方程无负根，即方程根均非负； 又由abc＞0可知，方程无零根， 故a＞0，b＞0，c＞0； （2）由（1）的证明可知，α，β，γ均为正数的充要条件是p＜0，q＞0，r＜0． 于是问题转化为证明α，β，γ为三角形三条边的充要条件为p3＞4pq-8r 条件的必要性： 若α，β，γ为三角形的三边， 则由三角形的性质必有α+β＞γ，β+γ＞α，γ+α＞β． 于是α+β-γ＞0，β+γ-α＞0，γ+α-β＞0． 由此可得（α+β-γ）（β+γ-α）（γ+α-β） =（-p-2α）（-p-2β）（-p-2γ） =-（p+2α）（p+2β）（p+2γ） =-[p3+2（α+β+γ）p2+4（βγ+γα+αβ）p+8αβγ] =-（p3-2p3+4pq-8r）=p3-4pq+8r＞0 即p3＞4pq-8r． 条件的充分性：若p3＞4pq-8r， 则p3-4pq+8r＞0， -（α+β+γ）3+4（α+β+γ）（αβ+βγ+γα）-8αβγ＞0， （α+β+γ）（2αβ+2βγ+2γα-α2-β2-γ2）-8αβγ＞0， [α+（β+γ）][-（β-γ）2+2α（β+γ）-α2]-8αβγ＞0， -α3+α2（β+γ）+α（β-γ）2-（β+γ）（β-γ）2＞0， α2（-α+β+γ）+（β-γ）2（α-β-γ）＞0， （-α+β+γ）[α2-（β-γ）2]＞0， （-α+β+γ）（α+β-γ）（α-β+γ）＞0． 此式中至少有一因式大于0，今设-α+β+γ＞0， 则必有（α+β-γ）（α-β+γ）＞0． 如果α+β-γ＜0，α-β+γ＜0， 两式相加得2a＜0， 即α＜0，此与α＞0相矛盾 故有-α+β+γ＞0，α+β-γ＞0，α-β+γ＞0， 此即
此即α，β，γ可作为一个三角形的三条边． 综上所证可知， 方程x3+px2+qx+r=0的三根α，β，γ为一个三角形的三条边的充要条件是
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）已知a，b，c为实数，证明a，b，c均为正整数的充要条件是a+b+c..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。