试证明：在平面上所有过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指横、纵坐标均为有理数的点）的直线有且只有一条．-数学试题及答案

1、试题题目：试证明：在平面上所有过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点（有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-20 07:30:00

试题原文

试证明：在平面上所有过点（

2

，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指横、纵坐标均为有理数的点）的直线有且只有一条．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①先证明直线的存在性：
由于直线y=0经过点（

2

，0），且至少经过两个有理点（0，0）、（1，0），故一定存在过点（

2

，0），且至少经过两个有理点的直线．
②再证明唯一性：假设除了直线y=0外，经过点（

2

，0），还有一条直线y=k（x-

2

）经过2个不同的有理点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
其中，x₁，y₁，x₂，y₂都是有理数，且x₁≠x₂，y₁≠y₂．
则有 y1=k(x1-

2

)，且y2=k(x2-

2

)，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

为有理数．
而由y1=k(x1-

2

) 可得k=

y1

x1-

2

是无理数，矛盾，故假设不正确．
综上，在平面上所有过点（

2

，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指横、纵坐标均为有理数的点）的直线有且只有一条．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“试证明：在平面上所有过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点（有..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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