解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD，
∵点E 、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD，
∴AE=CF，
∴△ADE≌△CBF；
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD 是平行四边形，
∵四边形BEDF 是菱形，
∴DE=BE，
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形。