已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-12 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；
（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

试题来源：湖北省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由抛物线过B（0，1）得c=1，又b=-4ac，顶点A（-

，0），
∴-

=

=2c=2，
∴A(2，0)
将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ，
∴

，解得a =

，b =-1，
故抛物线的解析式为y=

x²-x+1；
(2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y)，　　　　　　　　　　　　　　
作CD⊥x轴于D ，连接AB、AC　　　　　　　　　　　　　
∵A在以BC为直径的圆上，
∴∠BAC=90°
∴ △AOB∽△CDA　　　　　　　　　　
∴OB·CD=OA·AD　　　　　　　　　　　
即1·y=2(x-2)，
∴y=2x-4
由

，解得x₁=10，x₂=2
∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10，16)，或(2，0)
∵P为圆心，
∴P为BC中点．　
当点C坐标为(10，16)时，取OD中点P₁，连PP₁，　
则PP₁为梯形OBCD中位线
∴PP₁=

(OB+CD)=

∵D(10，0)，
∴P₁(5，0)，
∴P(5，

)
当点C坐标为(2，0)时，取OA中点P₂，连PP₂，　
则PP₂为△OAB的中位线，
∴PP₂=

OB=

，
∵A (2，0)，
∴P₂(1，0)，
∴P(1，

)，
故点P坐标为(5，

)，或(1，

)；　　　
（3）设B、P、C三点的坐标为B(x₁，y₁)，P(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，由(2)可知：

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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