解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，
 ∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；
（2）由y=ax²-2ax-3a，
令x=0，得y=-3a，
∴C（0，-3a），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，
∴-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C、D两点的坐标代入得，，
解得，
∴直线CD的解析式为y=x+3；
（3）存在．由（2）得，E（-3，0），N（-，0），
∴F（，），EN=，
作MQ⊥CD于Q，
设存在满足条件的点M（，m），
则FM=-m，
EF=，
MQ=OM=，
由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，
∴，
整理得4m²+36m-63=0，
∴m²+9m=，
m²+9m+
 

∴m₁=，m₂=-，
∴点M的坐标为M₁（，），M₂（，-）。