已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F2与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F₁PF₂的最大值为90°，直线l过左焦点F₂与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）根据椭圆的性质可得，当P是椭圆短轴的顶点时，∠F₁PF₂取最大值为90°，∴b=c，
∴a=

2

c，∴离心率

c

a

=

2

．
（2）由（1）知，可设椭圆方程：

x2

2c2

+

y2

c2

= 1，c＞0，当直线l垂直于x轴时，
直线l的方程为 x=-c，，△ABF₂为等腰三角形，把x=-c 代入椭圆可得 y=±

2

c．
△ABF₂的面积为

1

2

?

2

c?2c=

2

c²．令

2

c²=12，c²=6

2

，
椭圆的方程为

x2

12

2

+

y2

6

2

=1．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 y-0=k（x+c），代入椭圆的方程可得
（1+2k²）x²+4c k²x+2c²（k²-1）=0，∴x₁+x₂=

-4ck2

1+ 2k2

，x₁x₂=

2c2(k2-1)

1+ 2k2

．
∴AB=

1+k2

|x1-x2|=

2

c(1+k2)

1+2k2

，AB边上的高h=2c?sin∠BF₁F₂=2c

|K|

1+K2

，
∴△ABF₂的面积 S=

1

2

?AB?h=

1

2

?

2

c(1+k2)

1+2k2

?2c

|K|

1+K2

=2

2

c²?

1+k2

|k|

1+2k2

=2

2

c2?

k2+k4

1+4k2+4k4

=2

2

c2?

1

4+

1

k4+k2

≤

2

c2，
故S的最大值为

2

c2，此时，椭圆的方程为

x2

12

2

+

y2

6

2

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：