已知函数f(x)=x2+ax+1x-1(a≠-2)的图象关于点（b，1）对称．（I）求a的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（II）设函数g（x）=x3-3c2x-2c（c≤-1）．若对任意x1∈[2，4]，总存在x2∈[-1，0]，使-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+ax+1x-1(a≠-2)的图象关于点（b，1）对称．（I）求a的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)的图象关于点（b，1）对称．
（I）求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（II）设函数g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1）．若对任意x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)
=

(x-1)2+(a+2)x

x-1

=x-1+

a+2

x-1

+a+2，
∵y=x+

a+2

x

，（a≠2）的图象有一个唯一的对称中心（0，0），
∴f（x）有唯一一个对称中心（1，a+2），
∵f（x）的对称中心是（b，1），∴a=-1，b=1．
故a=-1．
（II）∵a=-1，b=1，∴f（x）=

x2-x+1

x-1

．
∴f′(x)=

(2x-1)(x-1)-(x2-x+1)

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，
列表讨论：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	不存在	-	0	+
f（x）	↑	-1	↓	不存在	↓	3	↑

∴函数f（x）的增区间为（-∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，1）和（1，2）．
（Ⅲ）由g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1），得
g′（x）=3x²-3c²=3（x²-c²），
当x₂∈[-1，0]时，g′（x₂）≤0，
∴g（x₂）∈[g（0），g（-1）]．即g（x₂）∈（-2c，-2c-1），
∵f（x）在[2，4]上是增区数，f（2）=3，f（4）=

13

3

，
∴f(x1)∈[3，

13

3

]．
∵任意x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴-2c≤3＜

13

3

≤3c2-2c-1，其中c≤-1．
∴

-2c≤3

c≤-1

3c2-2c-

16

3

≥0

，解得-

3

2

≤c≤

1-

17

3

．
故c的取值范围是[-

3

2

，

1-

17

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+ax+1x-1(a≠-2)的图象关于点（b，1）对称．（I）求a的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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