已知f（x）=lnx，g(x)=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g‘（x），求函-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=lnx，g(x)=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，总有ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

22

)+…+ln(1+

1

2n

)＜1-

1

2n

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意知直线l的斜率k=f′(1)=

1

=1，
∵f（1）=0，故直线l与函数f（x）的图象的切点坐标是（1，0），
∴直线l的方程为y=x-1；
又∵直线l与g（x）的图象也相切，
∴由

y=x-1

y=

1

2

x2+mx+

7

2

得x²+2（m-1）x+9=0，
令△=（m-1）²-9=0，∵m＜0
∴解得m=-2；

（II）∵g'（x）=x+m=x-2，
∴h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
令h'（x）＞0，解得-1＜x＜0，令h'（x）＜0，解得x＜-1（舍去）或x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2；

（Ⅲ）∵由（II）知：当x＞-1时，h（x）≤2，即ln（x+1）-x+2≤2，
∴当x＞-1时，ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立，
∵

1

2n

＞0，故ln(1+

1

2n

)＜

1

2n

，
∴ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

22

)+…+ln(1+

1

2n

)＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

=1-

1

2n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=lnx，g(x)=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：