已知函数f(x)=1(1+x)n+aln(x+1)，其中n∈N*，a为常数．（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a=1时，若b1，b2，…，bk均非负数，且b1+b2+…+bk=1，求证：f（b1）+f（b2）+…+f（bk）≤k+1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1(1+x)n+aln(x+1)，其中n∈N*，a为常数．（Ⅰ）当n=2时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

(1+x)n

+aln(x+1)，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，若b₁，b₂，…，b_k均非负数，且b₁+b₂+…+b_k=1，求证：f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞-1}，
当n=2时，f(x)=

1

(1+x)2

+aln(x+1)，
所以f′(x)=

a(1+x)2-2

(1+x)3

.
（1）当a＞0时，由f′（x）=0得x1=-1+

2

a

＞-1，x2=-1-

2

a

＜-1，
此时f′（x）=

a(x-x1)(x-x2)

(x+1)3

．
当x∈（1，x₁）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x₁+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值．
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f（x）在x=-1+

2

a

处取得极小值，极小值为f(-1+

2

a

)=

a

2

(1+ln

2

a

).
当a≤0时，f（x）无极值．
（Ⅱ）先证明当x≥0时，f（x）≤x+1，只要设g(x)=x+1-f(x)，则g′(x)=1+

n

(x+1)n+1

-

1

x+1

=

x

x+1

+

n

(x+1)n+1

＞0(x≥0)，
∴g（x）在[0，+∞）是增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，得证；
而b₁，b₂，…，b_k均非负数，且b₁+b₂+…+b_k=1，所以f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1(1+x)n+aln(x+1)，其中n∈N*，a为常数．（Ⅰ）当n=2时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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