已知函数f（x）=-13x3-13x2+53x-4，x∈[0，+∞)．（1）求f（x）的极值；（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（3）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-13x3-13x2+53x-4，x∈[0，+∞)．（1）求f（x）的极值；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-

1

3

x3-

1

3

x2+

5

3

x-4，x∈[0，+∞)．
（1）求f（x）的极值；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的值域；
（3）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=-x2-

2

3

x+

5

3

，令f'（x）=0，解得：x=-

5

3

（舍）或x=1
当0≤x≤1时，f'（x）≥0；当x＞1时，f'（x）＜0，
所以f（x）_极大值=f（1）=3，无极小值．
（2）由（1）知f（x）在区间[0，1]单调递增，所以f（x）在区间[0，1]的值域为[f（0），f（1）]，即[-4，-3]．
（3）因为g'（x）=3x²-3ax且a≥1，所以当x∈[0，1]时g'（x）≤0，所以g（x）在区间[0，1]单调递减，
所以g（x）在区间[0，1]的值域为[g（1），g（0）]，即[1-3a²-2a，-2a]．
又对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立等价为f（x）在区间[0，1]的值域?g（x）在区间[0，1]的值域，
即[-4，-3]?[1-3a²-2a，-2a]，
即

1-3a2-2a≤-4

-2a≥-3

，解得：1≤a≤

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-13x3-13x2+53x-4，x∈[0，+∞)．（1）求f（x）的极值；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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