已知直线l：x-ny=0（n∈N*），圆M：（x+1）2+（y+1）2=1，抛物线φ：y=（x-1）2，又l与M交于点A、B，l与φ交于点C、D，求limn→∞|AB|2|CD|2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：x-ny=0（n∈N*），圆M：（x+1）2+（y+1）2=1，抛物线φ：y=（x-1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知直线l：x-ny=0（n∈N*），圆M：（x+1）²+（y+1）²=1，抛物线φ：y=（x-1）²，又l与M交于点A、B，l与φ交于点C、D，求

lim

n→∞

|AB|2

|CD|2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设圆心M（-1，-1）到直线l的距离为d，则d²=

(n-1)2

n

2

+1

．
又r=1，∴|AB|²=4（1-d²）=

8n

1+

n

2

．
设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

x-ny=0

y=(x-1)2

?nx²-（2n+1）x+n=0，
∴x₁+x₂=，x₁?x₂=1．
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4n+1

n

2

，（y₁-y₂）²=（

x1

n

-

x2

n

）²=

4n+1

n4

，
∴|CD|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=

1

n4

（4n+1）（n²+1）．
∴

lim

n→∞

|AB |2

|CD|2

=

lim

n→∞

8n5

(4n+1)(n2+1)2

=

lim

n→∞

8

(4+

1

n

)(1+

1

n

)2

=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：x-ny=0（n∈N*），圆M：（x+1）2+（y+1）2=1，抛物线φ：y=（x-1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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