已知函数f（x）=x3+3ax-1，a为实常数．（1）a在什么范围内时，y=f（x）与y=3只有一个公共点？（2）若?(x)=|f(x)+1x2|在[-2，0)∪(0，2]上有最小值2，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+3ax-1，a为实常数．（1）a在什么范围内时，y=f（x）与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+3ax-1，a为实常数．
（1）a在什么范围内时，y=f（x）与y=3只有一个公共点？
（2）若?(x)=|

f(x)+1

x2

|在[-2，0)∪(0，2]上有最小值2，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²+3a=3（x²+a）．
①当a≥0时，f′（x）≥0，所以f（x）在R上单调增，此时y=f（x）与y=3只有一个公共点；
②当时，f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)．由f'（x）=0，得x1=-

-a

，x2=

-a

．
在x∈R上列表：

x

（-∞，-

-a

）

-

-a

（-

-a

，

-a

）

-a

（

-a

，+∞）

f′（x）

+

0

─

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

因为y=f（x）与y=3只有一个公共点，所以f（x）_极大值＜3或f（x）_极小值＞3．
所以f(-

-a

)＜3，或f(

-a

)＞3，得-

3	4

＜a＜0．
综上，a＞-1，y=f（x）与y=3只有一个公共点．
（2）?(x)=|

f(x)+1

x2

|=|

x3+3ax-1+1

x2

|=|x+

3a

x

|．
由?（-x）=?（x），可知?（x）为偶函数，则原题即为?（x）在（0，2]上有最小值2．
设g(x)=x+

3a

x

（x∈（0，2]），则g′(x)=1-

3a

x2

=

x2-3a

x2

．
①a＜0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，2]上单调增，所以g(x)∈(-∞，2+

3a

2

]．
因为?（x）在（0，2]上有最小值2，所以2+

3a

2

=-2，所以a=-

8

3

．
②a=0时，?（x）=x，无最小值，不合题意．
③a＞0时，?（x）=g（x），g′(x)=

x2-3a

x2

=

(x+

3a

)(x-

3a

)

x2

．
（I）

3a

≥2，即a≥

4

3

时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，2]上单调减，所以g(x)∈[2+

3a

2

，+∞)，
此时?（x）在（0，2]上的最小值为2+

3a

2

≠2，不合．
（II）

3a

＜2，即0＜a＜

4

3

时，由g'（x）=0，得x=

3a

．
在x∈（0，2]上列表：

x

（0，

3a

）

3a

（

3a

，2）

2

g′（x）

─

0

+

g（x）

↘

极小值

↗

2+

3a

2

∴φ(x)min=g(x)min=g(

3a

)=2

3a

=2，所以a=

1

3

．
综上，a的值为-

8

3

或

1

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+3ax-1，a为实常数．（1）a在什么范围内时，y=f（x）与..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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