已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R)．（1）若a=-1，求f（x）的单调递增区间；（2）当x＞1时，f（x）＞lnx恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R)．（1）若a=-1，求f（x）的单调递增区间；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

x2+alnx(a∈R)．
（1）若a=-1，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x＞1时，f（x）＞lnx恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=

1

2

x2+alnx(a∈R)，
∴若a=-1时，f′(x)=x-

1

x

，x＞0，
由f′（x）＞0，得

x2-1

x

＞0，又x＞0，解得x＞1，
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
（2）依题意得f（x）-lnx＞0，
即

1

2

x2+alnx-lnx＞0(x＞1)，
∴(a-1)lnx＞-

1

2

x2
∵x＞1，∴lnx＞0
∴a-1＞

-

1

2

x2

lnx

，
∴a-1＞(

-

1

2

x2

lnx

)max，
设g(x)＞

-

1

2

x2

lnx

，g′(x)＞

-xlnx+

1

2

x

(lnx)2

，
令g′（x）=0，解得x=e

1

2

，
当1＜x＜e

1

2

时，g′（x）＞0，g（x）在（0，e

1

2

）上单调递增；
当x＞e

1

2

时，g′（x）＜0，g（x）在（e

1

2

，+∞）上单调递减；
∴g(x)max=g(e

1

2

)=-e
∴a-1＞-e，即a＞1-e．
故实数a的取值范围是（1-e，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R)．（1）若a=-1，求f（x）的单调递增区间；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：