设函数f(x)=lnx-kx-aax-lna(x＞0，a＞0且a为常数)．（1）当k=1时，判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（2）当k=0时，求证：f（x）＞0对一切x＞0恒成立；（3）若k＜0，且k为常数，求证：f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=lnx-kx-aax-lna(x＞0，a＞0且a为常数)．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=lnx-

kx-a

ax

-lna(x＞0，a＞0且a为常数)．
（1）当k=1时，判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（2）当k=0时，求证：f（x）＞0对一切x＞0恒成立；
（3）若k＜0，且k为常数，求证：f（x）的极小值是一个与a无关的常数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数的定义域为x＞0
当k=1时，f（x）=lnx-

1

x

?x

1

2

+

a

x-

1

2

-lnx
∵f′(x)=

1

x

-

1

2

a

?x-

1

2

-

a

2

x-

3

2

=-

(

x

-

a

)2

2

ax

x

≤0
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数
（2）当k=0时，f(x)=lnx+

a

x-

1

2

-lna
f′(x)=

1

x

-

a

2x

x

=

2

x

-

a

2x

x

令f′(x)=0得x=

a

4

当0＜x＜

a

4

时，f′(x)＜0，f(x)是单调减函数
当x＞

a

4

时，f′(x)＞0，f(x)是单调增函数
∴当x=

a

4

时，f(x)有极小值f(

a

4

)=2-2ln2
∵e＞2
∴f(x)的极小值f(

a

4

)=2(1-ln2)=2ln

e

2

＞0
∴f（x）＞0恒成立
（3）∵f(x)=lnx-

k

a

?x

1

2

+

a

x-

1

2

-lna
∴f′(x)=

-kx+2

ax

-a

2

ax

x

令f′( x)=0得kx-2

ax

+a=0
解得

x

=

a

1-

1-k

k

（

x

=

a

1+

1-k

k

舍去）
∴x=

a

(1+

1-k

)2

当0＜x＜

a

(1+

1-k

)2

，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数
当x＞

a

(1+

1-k

)2

时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数
因此，当x=

a

(1+

1-k

)2

f（x）有极小值
令x0=

a

(1+

1-k

)2

∵f(x0)=ln

x0

a

-k

x0

a

+

a

x0

而

x0

a

=

1

(1+

1-k

)2

是与a无关的常数
∴lnx0，-k

x0

a

，

a

x0

均与a无关．
∴f（x₀）是与a无关的常数．
则f（x）的极小值是一个与a无关的常数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=lnx-kx-aax-lna(x＞0，a＞0且a为常数)．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：