已知x=12是f(x)=2x-bx+lnx的一个极值点．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）设g(x)=f(x)-1x，试问过点（2，5）可作多少条曲线y=g（x）的切线？为什么？-数学试题及答案

1、试题题目：已知x=12是f(x)=2x-bx+lnx的一个极值点．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知x=

1

2

是f(x)=2x-

b

x

+lnx的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）设g(x)=f(x)-

1

x

，试问过点（2，5）可作多少条曲线y=g（x）的切线？为什么？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2+

b

x2

+

1

x

，∵x=

1

2

是f(x)=2x-

b

x

+lnx的一个极值点，
∴f′（

1

2

）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，当b=-1时，f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0；当x＞

1

2

时，f′（x）＞0，所以x=

1

2

为f（x）的极小值点，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，令f′（x）＞0得x＞

1

2

，
∴函数f（x）的单调增区间为[

1

2

，+∞)．
（Ⅲ）g(x)=f(x)-

1

x

=2x+lnx，
设切点坐标为（x₀，2x₀+lnx₀），则斜率为2+

1

x0

，切线方程为：y-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（x-x₀）．
∴又切线过点（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（2-x₀），
即lnx0+

2

x 0

-2=0，令h（x）=lnx+

2

x

-2，
则h′（x）=

1

x

-

2

x

2

=0，得x=2．
h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增又∵h(

1

2

)=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h(e2)=

2

e2

＞0
∴h（x）与x轴有两个交点，
故过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x=12是f(x)=2x-bx+lnx的一个极值点．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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