已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时1ln(x+1)-1x＜12恒成立；（3）若(1+1n)n+a≥e对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底），求常数a的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞0时

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立；
（3）若(1+

1

n

)n+a≥e对任意的n∈N^*都成立（其中e是自然对数的底），求常数a的最小值．

试题来源：香洲区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，则f′（x）=ln（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，
∴函数的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-1，0）；
（2）证明：当x＞0时，欲证

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立，只需证明当x＞0时，ln(x+1)＞

2x

x+2

构造函数g（x）=ln(x+1)-

2x

x+2

，则g′（x）=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

＞0
∴g（x）=ln(x+1)-

2x

x+2

在（0，+∞）上单调递增
∴g（x）＞g（0）=0
∴当x＞0时，ln(x+1)＞

2x

x+2

∴当x＞0时，

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立；
（3）(1+

1

n

)n+a≥e等价于（n+a）ln（1+

1

n

）≥1
∴a≥

1

ln(1+

1

n

)

-n
∵当x＞0时，

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立，∴

1

ln(1+

1

n

)

-n＜

1

2

∴a≥

1

2

∴常数a的最小值为

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：