已知函数f(x)=1a-1x（a≠0，x≠0）．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；（3）若关于t（t≠0）的方程f(1t2)=t4+1有实数解，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1a-1x（a≠0，x≠0）．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

a

-

1

x

（a≠0，x≠0）．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
（3）若关于t（t≠0）的方程f(

1

t2

)=t4+1有实数解，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（

1

a

-

1

x1

）-（

1

a

-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

…（1分）
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（3分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是增函数 …（5分）
（2）可得F(x)=f(x)-a=

1

a

-

1

x

-a…（6分）
∴F(-x)=

1

a

+

1

x

-a，又因为F（-x）为奇函数，
所以 F(-x)+F(x)=

2

a

-2a=0…（8分）
解得 a=1或 a=-1…（10分）
（3）由f(

1

t2

)=t4+1得：t4+t2+1-

1

a

=0，令 m=t²，（m＞0）…（12分）
所以本题等价于关于m的方程 m2+m+1-

1

a

=0有正数解． …（14分）
令F(m)=m2+m+1-

1

a

，其对称轴为 m=-

1

2

，
∴F（m）在区间(-

1

2

，+∞)为增函数，
所以有 F(0)=1-

1

a

＜0，解得0＜a＜1…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1a-1x（a≠0，x≠0）．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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