已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A，B，它的顶点在以AB为直径的圆上．（1）证明：A，B是x轴上两个不同的交点；（2）求二次函数的解析式；（3）设以AB为直径的圆与y轴交-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A，B，它的顶点在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数y=x²-2mx-m²（m≠0）的图象与x轴交于点A，B，它的顶点在以AB为直径的圆上．
（1）证明：A，B是x轴上两个不同的交点；
（2）求二次函数的解析式；
（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵y=x²-2mx-m²（m≠0），
∴a=1，b=-2m，c=-m²，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（-m²）=4m²+4m²=8m²，
∵m≠0，
∴△=8m²＞0，
∴A，B是x轴上两个不同的交点；

（2）设AB点的坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-

b

a

=-

-2m

1

=2m，x₁?x₂=

c

a

=-m²，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4m2+4m2

=2

2m2

，
-

b

2a

=-

-2m

2×1

=m，

4ac-b2

4a

=

4×1×(-m2)-(-2m)2

4×1

=-2m²，
∴顶点坐标是（m，-2m²），
∵抛物线的顶点在以AB为直径的圆上，
∴AB=2（2m²），
即2

2m2

=2（2m²），
解得m²=

1

2

，
∴m=±

2

，
∴y=x²-2×

2

x-

1

2

=x²-

2

x-

1

2

，或y=x²+2×

2

x-

1

2

=x²+

2

x-

1

2

，
即抛物线解析式为：y=x²-

2

x-

1

2

或y=x²+

2

x-

1

2

；

（3）根据（2）的结论，圆的半径为2m²=2×

1

2

=1，
弦CD的弦心距为|m|=

2

，
∴

1

2

CD=

12-(

2

)2

=

2

，
∴CD=2×

2

=

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A，B，它的顶点在..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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