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1、试题题目:设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m、n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-03-21 07:30:00

试题原文

设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m、n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)设集合A={(x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=?,求a的取值范围.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:集合间交、并、补的运算(用Venn图表示)



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)令m=1,n=0,得f(1)=f(1)?f(0)
又当x>0时,0<f(x)<1,所以f(0)=1
设x<0,则-x>0
令m=x,n=-x,则f(0)=f(x)?f(-x)
所以f(x)?f(-x)=1
又0<f(-x)<1,所以f(x)=
1
f(-x)
>1
(2)设x1、x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0
所以0<f(x2-x1)<1,从而f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)?f(x1),
又由已知条件及(1)的结论知f(x)>0恒成立
所以
f(x2)
f(x1)
=f(x2-x1),所以0<
f(x2)
f(x1)
<1,
所以f(x2)<f(x1),故f(x)在R上是单调递减的.
由f(x2)?f(y2)>f(1)得:f(x2+y2)>f(1),
因为f(x)在R上单调递减,所以x2+y2<1,即A表示圆x2+y2=1的内部,
由f(ax-y+2)=1=f(0)得:ax-y+2=0
所以B表示直线ax-y+2=0,
所以A∩B=?,所以直线与圆相切或相离,即
2
1+a2
≥1
解得:-
3
≤a≤
3
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m、n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合间交、并、补的运算(用Venn图表示)”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中集合间交、并、补的运算(用Venn图表示)”。


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