已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=1an?an+1，Tn为数列{bn}的前n项和．（I）求a1，d和Tn；（II）若对任意的n-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足

a

2n

=S2n-1，n∈N*．数列{b_n}满足bn=

1

an?an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求a₁，d和T_n；
（II）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8?(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）在

a

2n

=S2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1

a22=S3

，即

a12=a1

(a1+d)2=3a1+3d

，
解得a₁=1，d=2，（3分）

∴an=2n-1.

∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，

∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．…(6分)

（II）（1）当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8?(-1)n恒成立，
即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（8分）
（2）当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8?(-1)n恒成立，
即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，
∴n=1时2n-

8

n

取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．（10分）
综合（1）（2）可得λ＜-21
∴λ的取值范围是{λ|λ＜-21}．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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