（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：第1列第2列第3列…第n列第1行a1，1a1，2a1，3…a1，n第2行a2，1a2，2a2，3…a2，n第3行a3，1a3，2a3，3…a3，n…第n行an，1a-数学试题及答案

1、试题题目：（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：第1列第2列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

（文科）已知n²（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：
          第1列    第2列    第3列   …第n列
第1行     a_1，1a_1，2a_1，3…a_1，n
第2行     a_2，1a_2，2a_2，3…a_2，n
第3行     a_3，1a_3，2a_3，3…a_3，n
…
第n行     a_n，1a_n，2a_n，3…a_n，n
其中a_i，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a_2，3=8，a_3，4=20．
（1）求a_1，1a_2，2；
（2）设A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1求证：A_n+n能被3整除．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，a_2，3=8，
a_3，4=20，
所以a_1，3=3，a_1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a_1，1=2，a_1，2=3，
得a_2，2=2a_1，2=6．
（2）同（1）可得，a_1，n=n+1，a_2，n-1=2n，a_3，n-2=2²（n-1），…，a_n-1，2=3×2^n-2，a_n，1=2×2^n-1
所以A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-12A_n=（n+1）×2¹+n×2²+（n-1）×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ两式相减，得A_n=-（n+1）+2¹+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ=-(n+1)+

2(1-2n-1)

1-2

+2×2n
=-（n+1）+2ⁿ-2+2×2ⁿ=3×2ⁿ-3-n
所以A_n-n=3×（2ⁿ-1），
故A_n+n能被3整除．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：第1列第2列..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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