已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，
∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，即an+1=

an+2

2

，（3分）
∵a₁=1，∴a2=

3

2

， a3=

7

4

；（5分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a₁-2=-1，∵

an+1-2

an-2

=

an+2

2

-2

an-2

=

1

2

，
∴{a_n-2}是首项为-1，公比为

1

2

的等比数列；（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an-2=-(

1

2

)n-1，∴nan=2n-n?(

1

2

)n-1，（10分）
∴Tn=(2-1)+(4-2?

1

2

)+[6-3?(

1

2

)2]++[2n-n?(

1

2

)n-1]，
∴Tn=(2+4+6++2n)-[1+2?

1

2

+3?(

1

2

)2++n?(

1

2

)n-1]，
设An=1+2?

1

2

+3?(

1

2

)2++n?(

1

2

)n-1①
∴

1

2

An=

1

2

+2?(

1

2

)2+3?(

1

2

)3++n?(

1

2

)n，②
由①-②，得

1

2

An=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n?(

1

2

)n，
∴

1

2

An=

1-(

1

2

)n

1-

1

2

-n?(

1

2

)n，∴An=4-(n+2)?(

1

2

)n-1，
∴Tn=

n(2+2n)

2

+(n+2)?(

1

2

)n-1-4=(n+2)?(

1

2

)n-1+n(n+1)-4．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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