已知﹛an﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．（Ⅰ）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am+k，an+k，al+k也-数学试题及答案

1、试题题目：已知﹛an﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．（Ⅰ）当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知﹛a_n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S_n为它的前n项和．
（Ⅰ）当S₁，S₃，S₄成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当S_m，S_n，S_l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a_m+k，a_n+k，a_l+k也成等差数列．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知得出a_n=a₁q ^n-1，S₃=a₁+a₂+a₃=a₁（1+q+q²），S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=a₁（1+q+q²+q³），
根据S₁，S₃，S₄成等差数列得出2S₃=S₁+S₄，
代入整理并化简，约去q和a₁，得q²-q-1=0，
解得q=

1±

5

2

；
（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若S_m，S_n，S_l成等差数列，则也有a_m+k，a_n+k，a_1+k成等差数列；
若q≠1，由S_m，S_n，S₁成等差数列，则有2S_n=S₁+S_m，
即有

2a1(1-qn)

1-q

=

a1(1-qm)

1-q

+

a1(1-ql)

1-q

，
整理化简得2q^n-1=q^m-1+q^l-1，两边同乘以a₁，得2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^l-1，即2a_n=a_m+a_l，
两边同乘以q^k即可得到2a_n+k=a_m+k+a_l+k，
即a_m+k，a_n+k，a_l+k成等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知﹛an﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．（Ⅰ）当..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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