设f(x)=xa(x+2)，x=f（x）有唯一解，f(x1)=11003，f（xn）=xn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求x2004的值；（Ⅱ）若an=4xn-4009，且bn=a2n+1+a2n2an+1an(n∈N*)，求证：b1+b2+…+bn-n＜1；（Ⅲ）是否存在最小-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)=xa(x+2)，x=f（x）有唯一解，f(x1)=11003，f（xn）=xn+1（n∈N*..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

设f(x)=

x

a(x+2)

，x=f（x）有唯一解，f(x1)=

1

1003

，f（x_n）=x_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求x₂₀₀₄的值；
（Ⅱ）若an=

4

xn

-4009，且bn=

a

2n+1

+

a

2n

2an+1an

(n∈N*)，求证：b₁+b₂+…+b_n-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整数m，使得对于任意n∈N*有xn＜

m

2005

成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

试题来源：重庆一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）由x=

x

a(x+2)

，可以化为ax（x+2）=x，
∴ax²+（2a-1）x=0，
由△=（2a-1）²=0得
当且仅当a=

1

2

时，x=f（x）有惟一解x=0，
从而f(x)=

2x

x+2

…（1分）
又由已知f（x_n）=x_n+1得：

2xn

xn+2

=xn+1，
∵

1

xn+1

=

1

2

+

1

xn

，
即

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

(n∈N*)
∴数列{

1

xn

}是首项为

1

x1

，公差为

1

2

的等差数列…（3分）
∴

1

xn

=

1

x1

+

n-1

2

=

2+(n-1)x1

2x1

，
∴xn=

2x1

(n-1)x1+2

又∵f(x1)=

1

1003

，
∴

2x1

x1+2

=

1

1003

，即x1=

2

2005

…（4分）
∵xn=

2×

2

2005

(n-1)?

2

2005

+2

=

2

n+2004

…（5分）
故x2004=

2

2004+2004

=

1

2004

…（6分）
（Ⅱ）证明：∵xn=

2

n+2004

，
∴an=

n+2004

2

×4-4009=2n-1…（7分）
∴bn=

a

2n

+

a

2n-1

2anan+1

=

(2n-1)2+(2n+1)2

2(2n-1)(2n+1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

…（8分）
∴b1+b2+…+bn-n=(1+1-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

5

)+…+(1+

1

2n-1

-

1

2n+1

)-n
=1-

1

2n+1

＜1…（10分）
（Ⅲ）由于xn=

2

n+2004

，若

2

n+2004

＜

m

2005

(n∈N*)恒成立，
∵(

2

n+2004

)max=

2

2005

，
∴

m

2005

＞

2

2005

，
∴m＞2，而m为最小正整数，
∴m=3…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)=xa(x+2)，x=f（x）有唯一解，f(x1)=11003，f（xn）=xn+1（n∈N*..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：