如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点，(1)求证：平面PDE⊥平面PAC；(2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点，
(1)求证：平面PDE⊥平面PAC；
(2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
(3)求点B到平面PDE的距离．

试题来源：河北省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：如图，
(1)设AC与DE交于点G，延长DE交CB的延长线于点F，
则易得△DAE≌△FBE，
∴BF=AD=1，∴CF=4，
∴

，
又∵

，
∴∠BFE=∠ACD，
又∵∠ACD+∠ACF=90°，
∴∠BFE+∠ACF=90°，
∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE，
又∵PC⊥底面ABCD，
∴PC⊥DE，
∴DE⊥平面PAC，
∵DE

平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC。
(2)连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，
则由(1)知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，
根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，
从而∠CPH，即∠CPG为直线PC与平面PDE所成的角，
在Rt△DCA中，

，
在Rt△PCG中，

，
所以

，即直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为

。
(3)由

，可知点B到平面PDE的距离等于
点C到平面PDE的距离的

，即

CH，
在Rt△PCG中，

，
从而点B到平面PDE的距离等于

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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