已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、BC、AB的中点，（1）求直线EF和平面ABCD所成角的正切值；（2）求证：DG⊥EF；（3）在棱B1C1上求一点M，使得DG⊥平面EFM。-数学试题及答案

1、试题题目：已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、BC、AB的中点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、BC、AB的中点，
（1）求直线EF和平面ABCD所成角的正切值；
（2）求证：DG⊥EF；
（3）在棱B₁C₁上求一点M，使得DG⊥平面EFM。

试题来源：河北省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）解：在正方体AC₁中，
∵AA₁⊥AD，AA₁⊥AB，
∴AA₁⊥平面ABCD，连结AF，
则∠EFA就是EF与平面ABCD所成的角，
设正方体棱长为a，
∵点F是BC的中点，
∴AF=

，
而AE=

，
则在Rt△EAF中，tan∠EAF=

为所求。
（2）证明：在正方形ABCD中，
∵G是AB的中点，F是BC的中点，
∴DG⊥AF，
∵EA⊥平面ABCD，由三垂线定理，
∴DG⊥EF；
（3）解：当点M在棱B₁C₁的中点时，DG⊥平面EFM；
证明如下：连结MF、EM，
∵F是BC的中点，
∴MF∥BB₁，
∵BB₁∥AA₁，
∴MF∥AA₁，
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴MF⊥平面ABCD，
∴MF⊥DG，
∵DG⊥EF，
∴DG⊥平面EFM。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、BC、AB的中点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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