如图，已知等腰△ABC的底边BC=3，顶角A为120°，D是BC边上一点，且BD=1，把△ADC沿AD折起，使得平面CAD⊥平面ABD，连接BC形成三棱锥C-ABD。（1）①求证：AC⊥平面ABD；②求三棱锥C-ABD-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知等腰△ABC的底边BC=3，顶角A为120°，D是BC边上一点，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

如图，已知等腰△ABC的底边BC=3，顶角A为120°，D是BC边上一点，且BD=1，把△ADC沿AD折起，使得平面CAD⊥平面ABD，连接BC形成三棱锥C-ABD。

（1）①求证：AC⊥平面ABD；
②求三棱锥C-ABD的体积；
（2）求AC与平面BCD所成角的正弦值。

试题来源：浙江省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）①由已知得，∠B=∠C=30°，AB=AC 在△ABD中，由BD=1，得在△ACD中，∵AC²+AD²=4=CD²， ∴AC⊥AD 平面ADC⊥平面ABD， ∴AC⊥平面ABD。 ②∵AC⊥平面ABD ∴ 。
（2）由BD=1，得CD=2 在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，则在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H， ∵BD⊥AC，BD⊥AE， ∴BD⊥平面ACE ∵AH平面ACE， ∴BD⊥AH， ∴AH⊥平面BCD， ∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角在Rt△ACE中，得 ∴ 即直线AC与平面BCE所成的角的正弦值为。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知等腰△ABC的底边BC=3，顶角A为120°，D是BC边上一点，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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