设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，记Sn为数列{an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=3n+（-1）n-1λ?2an（λ为非零常数，n∈N*），问-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，记S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ?2^a_n（λ为非零常数，n∈N^*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）在已知式中，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²
∵a₁＞0∴a₁=1…（2分）
当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²①a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²②
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）
∵a_n＞0∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n③
∵a₁=1适合上式…（4分）
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1④
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a_n=n…（6分）
（2）假设存在整数λ，使得对任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．
∵a_n=n∴bn=3n+(-1)n-1λ?2an=3n+(-1)n-1λ?2n
∴b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ?2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1λ?2ⁿ]=2?3ⁿ-3λ（-1）^n-1?2ⁿ＞0
∴(-1)n-1?λ＜(

3

2

)n-1⑤…（8分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，⑤式即为λ＜(

3

2

)2k-2⑥
依题意，⑥式对k∈N^*都成立，∴λ＜1…（10分）
当n=2k（k∈N^*）时，⑤式即为λ＞-(

3

2

)2k-1⑦
依题意，⑦式对k∈N^*都成立，
∴λ＞-

3

2

…（12分）
∴-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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